Ứng dụng số phức trong bài hình đề trải nghiệm VMO 2025

Trong đề thi trải nghiệm VMO 2025 - Vòng 1, ở ngày thi thứ nhất có bài toán hình học số 3 khá hay, bài viết này trình bày ý tưởng sử dụng số phức để giải quyết bài toán đó.

Trước tiên, ta nhắc lại nội dung bài toán

Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O),$ có trực tâm $H.$ Trên các cạnh $CA,$ $AB$ lấy các điểm $X, Y$ tương ứng sao cho $XB=XC$ và $HY \parallel AO.$
a) Chứng minh tam giác $AXY$ cân.
b) Gọi $Z$ là điểm đối xứng với $A$ qua $OX,$ $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ.$ Chứng minh $AT \perp OH.$

Ý tưởng tính toán
Chọn $(O)$ là đường tròn đơn vị, khi đó $XO \perp BC$ và $X\in CA$ nên $$x=bc\overline{x},\quad x+ac\bar{x}=a+c$$ Giải hệ phương trình, tìm được $x=\frac{b(a+c)}{a+b},$ để ý $HY \parallel AO$ suy ra $$\frac{y-h}{\overline{y}-\overline{h}}=\frac{a}{\overline{a}}=a^2 \Rightarrow y-a^2\overline{y}=h-a^2\overline{h}$$ Kết hợp $h=a+b+c,$ biến đổi được $$y-a^2\overline{y}=a+b+c-a^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{(b+c)(bc-a^2)}{bc}.$$ Lại có $Y \in AB$ nên $y+ab\overline{y}=a+b,$ kéo theo $$(b+a)y=\frac{(b+c)(bc-a^2)}{c}+a(a+b) \Rightarrow y=\frac{(b+c)(bc-a^2)}{c(a+b)}+a.$$ a) Chú ý $|a|=|b|=|c|=1$ nên biến đổi được $$y-x=\frac{b(bc-a^2)}{c(a+b)},\ x-a=\frac{bc-a^2}{a+b} \Rightarrow |y-x|=|x-a|$$ Kéo theo tam giác $AXY$ cân tại $X.$

b) $Z$ đối xứng với $A$ qua $OX$ nên $z=\frac{x\overline{a}}{\overline{x}}=\frac{bc}{a},$ tịnh tiến theo véc tơ $-a$ ta có $$x-a=\tfrac{bc-a^2}{a+b},\ y-a=\tfrac{(b+c)(bc-a^2)}{c(a+b)},\ z-a=\tfrac{bc-a^2}{a}$$ Kí hiệu $(u, v, w)$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm $u, v, w,$ khi đó $$t-a=(x-a, y-a, z-a)=\tfrac{bc-a^2}{a+b}\cdot(1,\tfrac{b+c}{c},\tfrac{a+b}{a})$$ Để tìm $(1,\frac{b+c}{c},\frac{a+b}{a})$ lại tịnh tiến theo véc tơ $-1,$ khi đó $$1-1=0,\ \tfrac{b+c}{c}-1=\tfrac{b}{c},\ \tfrac{a+b}{a}-1=\tfrac{b}{a}$$ Ngoài ra $|\frac{b}{c}|=|\frac{b}{a}|=1,$ kéo theo $(0, \frac{b}{c}, \frac{b}{a})=\frac{\frac{b}{c}\cdot\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}+\frac{b}{a}}=\frac{b}{a+c},$ như vậy $$\left(1,\frac{b+c}{c},\frac{a+b}{a}\right)=\frac{b}{a+c}+1=\frac{h}{a+c} \Rightarrow t-a=\frac{(bc-a^2)h}{(a+b)(a+c)}$$ Cuối cùng, $v=\frac{t-a}{h-o}=\frac{bc-a^2}{(a+b)(a+c)}=-\overline{v} \Rightarrow v \in i\mathbb{R},$ dẫn đến $AT \perp OH.$

Trình bày lời giải
Từ các ý tưởng tính toán phía trên, không khó để viết được lời giải hoàn chỉnh, phần này xin dành cho bạn đọc tự hoàn thiện.